Kalkulator Barisan Geometri

Barisan geometri muncul di mana-mana — mulai dari pertumbuhan tabungan hingga penyebaran bakteri dan bahkan teka-teki seperti Menara Hanoi. Memahami cara kerja barisan ini akan membantu Anda memecahkan soal di bidang matematika, keuangan, dan sains dengan lebih mudah. Mari kita uraikan apa itu barisan geometri, bagaimana strukturnya, dan mengapa begitu luas digunakan.

Apa Itu Barisan Geometri?

Barisan geometri adalah deret bilangan di mana setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan bilangan tetap, yang disebut rasio umum. Rasio ini bisa lebih besar dari 1 (menunjukkan pertumbuhan), antara 0 dan 1 (menunjukkan peluruhan), atau bahkan negatif, sehingga sukunya bergantian tanda.

Contohnya:

• 2,6,18,54,… memiliki rasio umum 3 (setiap suku dikalikan 3 dari suku sebelumnya).
• 100,50,25,12.5,… memiliki rasio umum 0,5 (setiap suku dibagi dua).

Barisan geometri berbeda dengan barisan aritmetika — di mana Anda menjumlahkan atau mengurangkan nilai sama setiap kali — karena barisan geometri bergantung pada perkalian, bukan penjumlahan. Ini membuat barisan geometri ideal untuk memodelkan situasi dengan perubahan persentase, pertumbuhan eksponensial, atau peluruhan, seperti suku bunga, investasi, atau proses alam. Jika Anda juga tertarik dengan pola penjumlahan, coba Kalkulator Barisan Aritmetika kami untuk perbandingan cepat.

Rumus Barisan Geometri

Untuk bekerja dengan barisan geometri, Anda memerlukan dua rumus utama:

1. Rumus Suku ke-n

Rumus ini menunjukkan cara menemukan suku ke-n tanpa harus menuliskan semua suku sebelumnya:

aₙ = a₁ × r⁽ⁿ⁻¹⁾

Di mana:

• aₙ adalah suku yang dicari,
• a₁ adalah suku pertama,
• r adalah rasio umum, dan
• n adalah posisi suku.

2. Jumlah Barisan Geometri Terbatas

Ketika Anda ingin menjumlahkan n suku pertama, gunakan:

Sₙ = a₁ × (1 − rⁿ) ÷ (1 − r) (r ≠ 1)

Rumus ini dipakai untuk menghitung total bunga, memprediksi jumlah penduduk setelah beberapa generasi, dan sebagainya.

Fakta Singkat: Albert Einstein kabarnya menyebut bunga majemuk (yang mengikuti barisan geometri) sebagai ‘keajaiban kedelapan dunia,’ karena betapa cepat nilainya tumbuh saat berulang kali dikalikan.

Kedua rumus ini menjadi tulang punggung penyelesaian soal barisan geometri, baik untuk latihan sederhana maupun pemodelan keuangan kompleks. Untuk soal matematika lain di luar barisan, jelajahi Kalkulator Matematika kami, yang mencakup persamaan, rasio, dan fungsi matematika lainnya.

Cara Menyelesaikan Soal Barisan Geometri

Menyelesaikan soal barisan geometri umumnya melibatkan tiga langkah utama: mencari rasio umum, menghitung suku tertentu, dan kadang menjumlahkan barisan.

1. Menentukan Rasio Umum (r)

Rasio umum adalah angka yang digunakan untuk mengalikan suku sebelumnya agar diperoleh suku berikutnya. Dapat ditemukan dengan:

r = aₙ ÷ aₙ₋₁

Ambil dua suku berurutan dan bagi suku berikutnya dengan suku sebelumnya.

Contoh: Untuk barisan 3, 6, 12, 24, …:

r = 6 ÷ 3 = 2

2. Menghitung Suku Tertentu

Setelah mengetahui r dan suku pertama a₁, Anda dapat menghitung suku apa pun dengan:

aₙ = a₁ × r⁽ⁿ⁻¹⁾

Contoh: Suku ke-10 dari 5, 15, 45, … (dengan r = 3):

a₁₀ = 5 × 3⁹ = 5 × 19.683 = 98.415

3. Menjumlahkan Barisan Terbatas dan Tak Terbatas

Kadang Anda perlu jumlah beberapa suku (misalnya untuk total pertumbuhan). Gunakan:

Sₙ = a₁ × (1 − rⁿ) ÷ (1 − r), r ≠ 1

Jika berurutan tak terhingga dan |r| < 1 (suku mengecil mendekati nol), barisan ini konvergen dengan jumlah:

S∞ = a₁ ÷ (1 − r)

Contoh (Barisan Tak Terbatas): Untuk 10, 5, 2.5, … (dengan r = 0.5):

S∞ = 10 ÷ (1 − 0.5) = 20

Tahukah Anda?
Bola yang memantul setengah ketinggian sebelumnya adalah contoh dunia nyata barisan geometri tak terhingga. Meskipun bola terus memantul (teoretis), jarak totalnya tetap terbatas karena barisan ini konvergen.

Barisan Geometri vs. Jenis Barisan Lain

Meski barisan geometri berbasis perkalian, tidak semua pola bilangan bekerja demikian. Dua jenis barisan lain yang sering ditemui adalah barisan aritmetika dan barisan Fibonacci — memahami perbedaannya membantu memilih metode penyelesaian yang tepat.

Geometri vs. Aritmetika

• Barisan geometri mengalikan setiap suku dengan rasio konstan (r). Contoh: 3,6,12,24,… (r=2).
• Barisan aritmetika menjumlahkan atau mengurangkan nilai sama setiap kali. Contoh: 3,6,9,12,… (beda d=3).

Jika Anda mengerjakan pola penjumlahan, coba Kalkulator Barisan Aritmetika.

Geometri vs. Fibonacci

• Barisan Fibonacci bukan rasio atau beda konstan — setiap suku jumlah dari dua suku sebelumnya: 1,1,2,3,5,8,…
• Deret Fibonacci muncul di alam (spiral kerang, bunga matahari) dan pemodelan pertumbuhan, tapi tidak bertumbuh dengan rasio tetap seperti barisan geometri.

Jika Anda tertarik pola Fibonacci, coba Kalkulator Barisan Fibonacci. Untuk pola lain, Kalkulator Deret Angka dapat membantu mengeksplorasi berbagai jenis barisan.